Question

已知函数f(x)=(lnx)/x.若a>0,函数h(x)=x*f(x)-x-ax^2在(0,2)上有极值,求实数a的取值范围.

Answer 1

h(x)=lnx-x-ax^2
h'(x)=1/x - 1 -2ax=0
1-x-2ax^2=0
2ax²+x-1=0
Δ=1+8a>=0
a<=-1/8

追问

没有用到区间(0,2)呀？

追答

令g(x)=2ax²+x-1
要使2ax²+x-1=0在(0,2)上有解，分三种情况讨论：

有两解且都在(0,2)上，则Δ=1+8a>0 且 g(0)0 且 g(0)*g(2)0,a>-1/8
有一解在(0,2)上，Δ=1+8a=0，a=-1/8,-x²/4+x-1=0,-(x-2)²=0,不满足

所以a>-1/8 【原来的不等号方向错了，还多了个=号】

Answer 2

h(x)=lnx-x-ax^2.求导得h'(x)=1/x-1-2ax。（1）由于0<x<2，所以1/x关于x单调递减，又因为a>0，所以-2ax也关于x单调递减，因此整个h'(x)在0<x<2上单调递减。（2）要使h(x)在0<x<2存在极值，就必须使h'(x)在0<x<2上的某一处取到0.因此：h'(x)=0在0<x<2上有解（*）。（3）化简（*）式，得：a=0.5(1/x^2-1/x)在0<x<2有解。这等价于：y=a（a为常数）和y=0.5(1/x^2-1/x)在0<x<2上有交点。因此a的取值范围就等于0.5(1/x^2-1/x)在0<x<2上的值域。（4）为了求g(x)=0.5(1/x^2-1/x)的值域，令1/x=t，由于0<x<2，所以t的范围是t>0.5。所求函数变为0.5(t^2-t)。这个函数的值域是(1/8,正无穷）。也即a的范围是a>1/8

Answer 3

都已经a>0了那个人的肯定不对呀！！我是搜答案的结果没搜到。。明天问老师！！会了告诉你！！