Question

数学分析证明：方程x^3-3x+c=0在区间（0，1）内没有两个不同的实根（提示：用反证法证明）

清楚的回答，谢谢!

Answer 1

方法一：一元三次方程一定有实根，f(x)＝x^3－3x＋c在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f'(x)＝3x^2－3，当0＜x＜1时，f'(x)＜0，单调减少，所以f(x)＝x^3－3x＋c在(0,1)内至多有一个零点，所以方程x^3-3x+c=0在区间（0，1）内不可能有两个不同的实根

方法二：反证法
设方程x^3-3x+c=0在区间（0，1）内有两个不同的实根x1，x2，假设x1＜x2，则f(x)＝x^3－3x＋c在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)内可导，f(x1)＝f(x2)，由罗尔中值定理，f'(x)在(x1,x2)内有零点. 但是f'(x)＝3x^2－3，在(x1,x2)内，f'(x)＜0. 矛盾.
所以方程x^3-3x+c=0在区间（0，1）内不可能有两个不同的实根

Answer 2

定理:如果连续函数f满足f(x1)=f(x2),则(x1,x2)之间必定存在x0使得f'(x0)=0
但是在(0,1)之间y'=3x^2-3<0,没有f'(x0)=0的点.所以命题成立

Answer 3

假设有两个不同实根，分别设为x1，x2且x1不等于x2。则有x1^3-3x1+c=x2^3-3x2+c=0
移项得x1^3-x2^3=3x1-3x2 化简 （x1-x2）*（x1^2+x1x2+x2^2）=3(x1-x2)
由于x1不等于x2，所以x1^2+x1x2+x2^2=0但是x1 x2都在（0，1）内 x1^2 x1x2 x2^2均小于一。故矛盾

Answer 4

解；设y=x�0�6-3x+c
得y‘=3x�0�5-3
因为x∈（0，1）
所以y‘≥0
所以y为单调递增函数
所以方程x^3-3x+c=0在区间（0，1）内没有两个不同的实根