Question

若对任意m∈R,直线x+y+m=0都不是曲线f(x)= ax^2+lnx的切线,则实数a的取值范围是

Answer 1

解答：
f(x)=ax²+lnx
定义域x>0
f'(x)=2ax+1/x
∵ 对任意m∈R,直线x+y+m=0都不是曲线f(x)= ax^2+lnx的切线,
即f'(x)的值不能等于-1
∴ f'(x)=2ax+1/x=-1在x>0时无解
∴ -2ax=1+1/x在x>0时无解
即 -2a=1/x+1/x²在x>0时无解
∵ y=1/x²+1/x (x>0)的值域是(0,+∞）
∴ -2a≤0
∴ a≥0
即 a的取值范围是[0,+∞）。

追问

为什么不能在-2ax=1+1/x时通过公式法b的平方-4ab小于零得出a大于八分之一呢

追答

哦，这个是常见的错误，本题中
通过整理是二次方程在（0，+∞）上无解，不是在R上无解，所以不适合用判别式。
因为判别式≥0时，f(x)=0也有可能在（0，+∞）上无解。

追问

什么意思（不是在R上无解），定义域不是（0，+∞）啦

追答

就是因为是在（0，+∞）上无解，所以才不能使用判别式
举个例子吧。
比如 f(x)=x²+3x+2
判别式>0
但是 f(x)=x²+3x+2在（0，+∞）上显然是正的，
∴ f(x)=在（0，+∞）上无解

追问

为什么不是0≤2a，不是-2a=1/x+1/x²，当1/x+1/x²大于0时，即-2a大于0即0≤2a

追答

可以象你怎么理解啊，结果是一样的。

Answer 2

答：
直线x+y+m=0，斜率为k=-1
不是曲线f(x)=ax²+lnx的切线，表明f(x)曲线的斜率不可能等于-1
对f(x)求导得：
f'(x)=2ax+1/x，x>0
令f'(x)=2ax+1/x=-1

显然，当a>=0时f'(x)>0>-1，符合。
当a<0时整理得：g(x)=2ax²+x+1=0
抛物线g(x)开口向下，与x轴无交点时表示方程2ax²+x+1=0无实数解。
所以：判别式=1²-4*2a*1<=0
解得：a>=1/8，与假设a<0矛盾

综上所述，a>=0时，f(x)=ax²+lnx的切线不可能是x+y+m=0

Answer 3

先对f(x)求导，f'(x)=2ax+1/x,y=-x-m,那么，也就是，2ax+1/x=-x-m对任意m均不成立。由f(x)知道x>0,那么(2a+1)x^2+mx+1=0无解。讨论2a+1>0,=0,<0三种情况，利用del=sqrt(b^2-4ac)结合抛物线开口就能求a。 好的话记得给分哦，打都打了半天。