Question

线代证明，设β是非齐次线性方程组Ax=b的解向量，α1，α2.……αn-r是对应齐次方程组的一个解的基础

设β是非齐次线性方程组Ax=b的解向量，α1，α2.……αn-r是对应齐次方程组的一个解的基础解析，则向量组α1，α2.……αn-r，β线性无关

Answer 1

反证法，如果向量组α1，α2.……αn-r，β线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,.……,kn-r,k使得
k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r+k*β=0。如果k不等于0，那么移项过去，β可以由向量组α1，α2.……αn-r线性表示，因为α1，α2.……αn-r是对应齐次方程组的一个解的基础解系，那么β也是齐次方程组的一个解，这与题设β是非齐次线性方程组Ax=b的解向量相矛盾；那么只有k=0，那么存在不全为零的数k1,k2,.……,kn-r使得k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r=0，因为α1，α2.……αn-r线性无关，所以对于不全为0的k1,k2,.……,kn-r，k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r不等于0，等式不成立，与假设α1，α2.……αn-r，β线性相关矛盾，所以α1，α2.……αn-r，β线性无关。