Question

试用组合分析法证明C(n,k)=∑(i=0~k)C(n-1-i,k-i)

大学组合数学，规定要组合分析法，实在做不来，考试题，求救，若有高手，一定一定追加分数，谢谢

Answer 1

注意等式C(m,j-1)+C(m,j)=C(m+1,j)，则有
∴C(n-1-k,0)+C(n-1-(k-1),1)+...+C(n-1-i,k-i)+...+C(n-1,k)
=C(n-k,0)+C(n-k,1)+C(n-k+1,2)+...+C(n-1-i,k-i)+...+C(n-1,k)
=C(n-k+1,1)+C(n-k+1,2)+...+C(n-1-i,k-i)+...+C(n-1,k)
=C(n-k+2,2)+C(n-k+2,3)+...+C(n-1-i,k-i)+...+C(n-1,k)
=...=C(n-1-i,k-i-1)+C(n-1-i,k-i)+...+C(n-1,k)
=...=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)=C(n,k)

追问

真的很感激你的证明，可是这不是组合分析法，能不能用组合分析法证明呢

追答

你说这样证明吗：考虑在n个不同球里取出k个球的取法
显然不同的取法为C(n,k)。我们再换一种取法，
指定k个球，不妨设编号为1,2,3,...,k
把取法分为含1号球和不含1号球两种
不含1号球有C(n-1,k)种取法
含1号球时，同理把取法分为是否含2号球两种
不含2号球有C(n-2,k-1)种取法
含2号球时，同理把取法分为是否含3号球两种
不含3号球有C(n-3,k-2)种取法
以此类推...最后
不含k号球有C(n-k,1)种取法
而含k号球即只有C(n-k-1,0)=1种取法，此时取的是1,2,3...,k号球
两种取法数应该相等，即有C(n,k)=∑(i=0~k)C(n-1-i,k-i)

Answer 2

左边=1/[√n+2+√n+1]<1/[√n+1+√n]=√n+1-√n=右边

Answer 3

这个应该没有解，很麻烦！