Question

设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=f'(0)=0,且使得[xy(1+y)+f'(x)y]dx+[f'(x)+x^2y]dy=0为全微分方程

求函数f(x)并解该全微分方程

Answer 1

假如是全微分，那么说明左边是
dz
所以伏卖穗
xy(1+y)+f'(x)y=偏z/偏x (1)
f'(x)+x^2y=偏z/偏y (2)
(1)对y求偏导=偏^2 z/偏x偏y=x(1+y)+xy+f'(x)
(2)对x求偏导=偏配弯^2 z/偏x偏y=f''(x)+2xy
两者相等可得
f''=f'+x
f''-f'=x
令t=f'
t'-t=x
积分因子为e^(-x)
两边同乘
(te^(-x))'=xe^(-x)
两边积分
te^(-x)=C1+(-x-1)e^(-x)
t=C1e^(x)-x-1
f'=C1e^(x)-x-1
再积一次分
f(x)=C1e^(x)-x^2/2-x+C2
代入x=0,f(0)=0
C1+C2=0
x=0,f'(0)=0
C1-1=0
C1=1,C2=-1
f(x)=e^x-x^2/2-x-1即为所求
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偏z/偏x=xy(1+y)+(e^x-x-1)y
偏z/偏y=e^x-x-1+x^2y
第一式对缺卜x积分可得
z=y(1+y)x^2/2+(e^x-x^2/2-x)y+g(y)
第二式对y积分可得
z=(e^x-x-1)y+x^2y^2/2+h(x)
两者比较得到
z=(e^x-x-1)y+x^2y^2/2+C'
即(e^x-x-1)y+x^2y^2/2=C
C为任意常数

Answer 2

P=xy(1+y)+f'(x)y,Q=f'(x)+x^2y Py=x+2xy+f'(x) Qx=f''(x)+2xy
由Qx= Py得： f''(x)-f'(x)=x
特征方程的根0,1.
因为0是单根，设特解f=x(Ax+B)代入：A=-1/2 B=-1
解得f(x)=C1e^x+C2-x(x/2+1)
由f(0)=f'(0)=0代入解得：好散宏C1=1 C2=-1
所以：f(x)=e^x-1-x(x/2+1) f'(x)=e^x-x-1

[xy(1+y)+f'(x)y]dx+[f'(x)+x^2y]dy=0
分组得：y[x+f'(x)]dx+f'(x)dy+(x^2ydy+xy^2dx)=0
注意：友册 f'(x)=e^x-x-1 f'‘(x)=e^x-1=x+f'(x)
上面分组掘森后的式子改写为：[yf''(x)dx+f'(x)dy]+(x^2ydy+xy^2dx)=0
积分得：f'(x)y+x^2y^2/2=C
特解：(e^x-x-1)y+x^2y^2/2=C