Question

证明，若函数f（x）定义在R上，则FX=f（x）+f（-x）是偶函数，g（x）=f（x）-f（-x）是奇函数。

Answer 1

证明：若函数f（x）的定义域为R，则F(x)=f（x）+f（-x）和g（x）=f（x）-f（-x）的定义域也是R。
F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(-x)+f(x)=f（x）+f（-x）=F(x)
g(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x)
∴F(x)是偶函数，g(x)是奇函数。

Answer 2

F（x）=f（x）+f（-x）
F（-x）=f（-x）+f（x）=F（x）
所以F（x）是偶函数
g（x）=f（x）-f（-x）
g（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-g（x）
所以g（x）是奇函数