Question

初中数学几何综合题

如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CD是BC边上的高.E为AC的中点，作EF⊥AC，垂足为E，与AB、CD分别交于点F、O.连接ED、CF.
(1)求证：△OEC∽△CEF；
(2)求证：CO/CF=tan∠OFC；
(3)若∠A=60°，AD=2，求CO的长.

Answer 1

（1）RT△ADC∽RT△OEC，则∠A=∠EOC 因为E为AC中点，且FE垂直AC

所以AF=CF（垂直平分线）所以∠A=∠ECF= ∠EOC 又因为∠OEC=∠CEF
所以△OEC∽△CEF

（2）因为△OEC∽△CEF，所以EC/EF=OC/CF 因为∠CEF为直角 所以EC/EF=tan∠OFC
所以CO/CF=tan∠OFC
（3）因为△AFC为等腰三角形，∠A=60°，所以△AFC为等边三角形

因为CD⊥AF 所以AD=DF=2=1/2CF,即AC=AF=CF=4 又因为EF⊥AC，所以∠OFC=1/2∠AFC=30° 因为 CO/CF=tan∠OFC【(2)已证明】
所以CO=tan∠OFC×CF=tan30×4=(4/3)√3 (三分之四倍根号三）

Answer 2

1. 证明：∵E为AC的中点，作EF⊥AC

   ∴△AFC中，AF=AC，∠A=∠ACF

   ∵∠A+∠ACD=∠ACD+COE=90°

   ∴∠COE=∠A=∠ACF

   ∵∠CEO=∠CEF=90°

   ∴△OEC∽△CEF

2.证明：∵ △OEC∽△CEF

∴∠OFC=∠ECO，EO/CE=CO/CF

∴tan∠OFC=tan∠ECO=EO/CE=CO/CF

3.∵在RT△ACD中，∠A=60°

∴AC=2AD=4，∠ACD=30°

∴CO=CE/cos∠ACD=AC/2cos∠ACD==4/2（根号3/2）=4根号3/3

Answer 3

(1)由题意，得 RT三角形ADC相似TR三角形OEC，则角A=角EOC
因为E为AC中点，且FE垂直AC 所以三角形ACF为等腰三角形 所以角A=角ECF
因为角A=角EOC 所以角EOC=角ECF 又因为角OEC=角CEF 所以RT三角形OEC相似RT三角CEF
(2)因为RT三角形OEC相似RT三角CEF 所以EC/EF=OC/CF
因为角CEF为直角，所以EC/EF=tan角OFC 所以OC/CF=tan角OFC
(3)因为三角形AFC为等腰三角形，角A=60度，所以三角形AFC为等边三角形
因为CD垂直AF 所以AD=DF=2=1/2CF,即AC=AF=CF=4 又因为FE垂直AC，所以角OFC=30度
所以CO=tan角OFC*CF=tan30*4=(4根号3)/3

Answer 4

1:
∵EF⊥AC，∠ACB=90°
所以 ∠ACB=∠CEO=90°
∵∠ACD=∠ACD
所以 RT△ADC相似于TR△OEC
所以 ∠A=∠EOC
∵E为AC的中点（三线合一）
所以 △CAF是等腰三角形
所以 ∠A=∠ECF
所以 ∠ECF=∠CEO（条件一）
∵CD是BC边上的高
所以 ∠CEF=∠CDF=90°（条件二）
所以 △OEC∽△CEF

2：
∵ △OEC∽△CEF
所以 ∠ECO=∠CFE
∵tan∠ECO=EO/CE
tan∠OFC=CE/EF
所以 tan∠OFC= EO/CE
∵CO/EO=CF/AE
所以 OC/CF=tan角OFC

3：
∵∠A=60°，AD=2
所以 CA=2AD=4，CD=2根号3
∵E为AC的中点
所以 CE=2
∵△OEC∽△CEF
所以 2/2根号3=CO/4
所以 CO=(4根号3)/3

Answer 5

(1)∠acd+∠cad=∠acd+∠coe
所以∠cad=∠coe=∠acf
因为两个直角
所以oec相似cef
（2）tan∠ofc=tan∠oce=oe/ce=co/cf
（3）易证ae=ce=2 ∠acd=30度 设oe=x co=2x rt△coe中 x²+4=4x² x=2/3根号3
所以co=2x=三分之四根号3 4/3根号3