Question

2.（3）已知a，b为整数，求证，若ab为偶数，则一定存在自然数c和d，使得a²+b²+c²=d²

若ab为奇数，结论是否成立？请举例说明。
（4）三个连续不同的质数a，b，c，满足a^abc+a=2006，则a+b+c=？
希望过程能够详细简单一点，谢谢！！
“a^abc+a=2006”是“a的a次方×bc+a=2006.”。
有些打错，希望各位能再看看。

Answer 1

（3）运用的是平方差公式
证：ab为偶数，所以a、b为一奇一偶或两个偶数
1‘，ab一奇一偶，
则a^2与b^2也是一奇一偶
a^2+b^2为奇数
d^2-c^2=a^2+b^2
(d-c)(d+c)=(a^2+b^2)*1
令d-c=1
d+c=a^2+b^2
得d=(a^2+b^2+1)/2
c=(a^2+b^2-1)/2
a^2+b^2加减1是偶非负数，c，d为自然数，结论成立
2’，ab均为偶数
设a=2m,b=2n,m,n均为自然数
(d-c)(d+c)=a^2+b^2=4（m^2+n^2)=2 *2(m^2+n^2)
令d-c=2
d+c=2(m^2+n^2)
可得出d，c
综上，成立
ab为奇数时取a=1，b=3
(d-c)(d+c)=2*5=1*10
同以上方法，d，c无自然数解
故不成立
（4）a^abc这是什么意思？可以说清楚点吗？加上括号可以吗？

追问

打得有些不清楚，请见谅。
是a的a次方×bc+a=2006.
sorry。

追答

a的a次方×bc+a一定是a的倍数
而2006=2*17*59
而17^17、59^59大于2006
所以a=2，
4bc+2=2006
bc=501=3*167 ,167为质数
故b、c为3、167
a+b+c=172
但是题目里三个连续不同的质数，“连续”何意？

追问

这个连续.......好像是我不小心多打的.........

追答

好吧。

Answer 2

(3)a²+b²=d²-c²=k(k为正整数)
d²-c²=(d-c)(d+c),记d+c=m,d-c=n,则
d²-c² =m*n = a²+b²= k (1)
d=(m+n)/2 (2)
c=(m-n)/2， (3)

因为d,c都是正整数，所以，m,n的奇偶性必须是相同的；又因为只要m,n的奇偶性相同，d,c总是存在的。
所以(1)有解的充分必要条件是m,n的奇偶性相同.

当ab为偶数的时候，a，b必有一个为偶数，假设a是偶数，
1) b为偶数，a²+b²必然是4的倍数
a²+b² = 4p = 2*2p,取m=2p,n=2,则c=p-1,d=p+1,此时有解。
2) b为奇数, a²+b²为奇数
a²+b² = 2q + 1 ,取m=2q+1, n = 1,则c=q d= q+1, 此时有解。

取a=b=1,m*n=2,则m=2,n=1,此时c,d无正整数解，所以ab为奇数，命题不成立。

（4）a^abc+a 是表示
a^(abc+a) (a)
a^(abc)+a (b)
(a^a)*bc+a (c)
.....中的哪一种？