Question

已知a、b、c均为正整数,且满足a^2+b^2=c^2,又a为质数。证明:（1）.b与c两数必为一奇一偶 （接下）

（2）2*（a+b+1）是完全平方数。

Answer 1

1. 根据已知假设a=2，则按照最差的情况c至少为3和b为2，那么c方-b方=5>a方=4，因此a不可能为2，所以a必为奇数，且最小值为3。
已知奇+偶=奇，奇+奇=偶，根据排除法b与c两数必为一奇一偶。
2.若满足结论，a+b必为奇数（否则带有根号2，这时就成了无理数的完全平方），则由条件a为奇数，b必为偶数。
反证法，若a为质数，b为奇数，则c为偶数，能否推出条件矛盾，不知道该如何证明了，举例子3,4,5和5,12,13满足结论，但具体该如何操作，我进行不下去了。

Answer 2

（1）因为a^2+b^2=c^2
a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
因为a是质数，而(c+b)(c-b)也是质数，(c+b)不等于(c-b) 所以不可能都等于a，所以c-b=1，c+b=a^2，得到c=b+1
所以b与c两数必为一奇一偶
（2）将c=b+1代入原式得：
a^2+b^2=(b+1)^2=b^2+2b+1
得到a^2=2b+1
则a^2+2a+1=2b+1+2a+1=2(a+b+1)
左边等于（a+1）^2是一个完全平方数，所以右边2(a+b+1)是一个完全平方数，得证。