Question

已知a、b、c均为正整数，且满足a2+b2=c2，又a为质数．证明：（1）b与c两数必为一奇一偶；（2）2（a+b+1）

已知a、b、c均为正整数，且满足a2+b2=c2，又a为质数．证明：（1）b与c两数必为一奇一偶；（2）2（a+b+1）是完全平方数．

Answer 1

证明：（1）∵a²+b²=c²，
∴a²=c²-b²=（c+b）（c-b），
因为a是质数，而（c+b）和（c-b）不可能都等于a，所以c-b=1，c+b=a²，得到c=b+1，
则b，c是两个连续的正整数，
∴b与c两数必为一奇一偶；

（2）将c=b+1代入原式得：
a²+b²=（b+1）²=b²+2b+1
得到a²=2b+1
则a²+2a+1=2b+1+2a+1=2（a+b+1）
左边等于（a+1）²是一个完全平方数，
所以右边2（a+b+1）是一个完全平方数，得证．