Question

已知：△ABC的两条高BD,CE交于点F,点M,N分别是AF,BC的中点，连接ED,MN.

（1）在图1中证明MN垂直平分ED；
(2)若∠EBD=∠DCE=45°(如图2)，判断以M,E,N,D为顶点的四边形的形状，并证明你的结论.

Answer 1

1、证明：连接EM、EN、DM、DN
∵BD⊥AC
∴∠BDA＝∠BDC＝90
∵M是AF的中点、N是BC的中点
∴DM＝AF/2、DN＝BC/2
同理可证：EM＝AF/2、EN＝BC/2
∴DM＝EM、DN＝EN
∵MN＝MN
∴△DMN≌△EMN （SSS）
∴∠DMN＝∠EMN
∴MN垂直平分ED （三线合一）
2、正方形MEND
证明：
∵∠DCE＝45
∴等腰RT△DCF
∴CD＝FD
∵∠EBD＝45
∴等腰RT△ABD
∴AD＝BD，∠BAC＝45
∴△ADF≌△BDC （SAS）
∴AF＝BC
∴DM＝DN
∴DM＝EM＝DN＝EN
又∵∠BAC＝45
∴∠ABC+∠ACB＝180-∠A＝135
∵N是BC的中点
∴BN＝EN、CN＝DN
∴∠BEN＝∠ABC、∠CDN＝∠ACB
∴∠BNE＝180-2∠ABC、∠CND＝180-2∠ACB
∴∠DNE＝180-（∠BNE+∠CND）＝180-[360-2（∠ABC+∠ACB）]＝180-（360-270）＝90
∴正方形MEND

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