Question

求数统大神解释一个小问题E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立的原因?蟹蟹

Answer 1

E(XY)=E(X)E(Y)

所以X和Y的协方差cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y)=0，故X和Y的相关系数ρ=cov(X,Y) / (√DX *√DY) =0。ρ反映的是变量X与Y之间线性相关的密切程度，ρ越小则X和Y之间的线性相关程度越低,

而ρ=0故X与Y不相关，但是不相关只是表明X与Y没有线性相关的关系,不代表它们之间没有其他关系。

故X与Y不相关不表示X与Y相互独立，相反，如果X与Y相互独立,则X与Y不相关即E(XY)=E(X)E(Y)则是正确的。

学科应用

数理统计在自然科学、工程技术、管理科学及人文社会科学中得到越来越广泛和深刻的应用，其研究的内容也随着科学技术和政治、经济与社会的不断发展而逐步扩大，但概括地说可以分为两大类：

⑴试验的设计和研究，即研究如何更合理更有效地获得观察资料的方法；

⑵统计推断，即研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确可靠的结论，当然这两部分内容有着密切的联系，在实际应用中更应前后兼顾。但按本专业的总体设计，我们的数理统计课程只讨论统计推断。

Answer 2

E(XY)=E(X)E(Y),
所以X和Y的协方差cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y)=0,
故X和Y的相关系数ρ=cov(X,Y) / (√DX *√DY) =0,
ρ反映的是变量X与Y之间线性相关的密切程度,ρ越小则X和Y之间的线性相关程度越低,
而ρ=0故X与Y不相关,
但是不相关只是表明X与Y没有线性相关的关系,不代表它们之间没有其他关系,
故X与Y不相关不表示X与Y相互独立
相反,
如果X与Y相互独立,则X与Y不相关即E(XY)=E(X)E(Y)则是正确的