Question

求解数学问题，初中数学

求所有的素数P，使4P的平方+1和6P的平方+1也是素数？

Answer 1

解：依题得4P^2+1和6P^2+1都是素数，分类讨论：
【1】若4P^2+1能被5整除（这里只讨论4P^2+1，因为质数6P^2+1>5，显然不能被5整除），则4P^2+1=5，此时P=1，因为P是质数，所以P不能为1，舍去；
【2】若4P^2+1不能被5整除，则可以列出表（注：表中O表示能被5整除，X表示不能被5整除）：
P被5除的余数..0...1...2...3...4
4P^2+1的值...X...O...X...X...O
6P^2+1的值...X...X...O...O...X
根据表得知，只有当P除以5余0时4P^2+1和6P^2+1都是素数。因为P是素数，所以P只能为5，此时4P^2+1=101，6P^2+1=151，都是素数，符合条件。
综上所述，符合题意的P只能为1。 答案补充 是只能为5。。。打错了，不好意思，(*^__^*) 嘻嘻……

Answer 2

当$p=0(mod5)$时，只有$p=5$是素数，并且此时$4p^2+1=101$和$6p^2+1=151$都是素数。
当$p=1(mod5)$和$p-=4(mod5)$时，容易证明$4p^2+1$是合数，并且有因数$5$。
当$p=2(mod5)$和$p-=3(mod5)$时，容易证明$6p^2+1$是合数，并且有因数$5$。
综合就得到只有$p=5$为所求。