Question

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，求证

（1） B′D⊥平面A′C′B
（2） B′D与平面A′C′B的交点H是△A′C′B的重点 （三角形三条中线的交点）

Answer 1

1） 连接AC、BD
在正方体。。。中，四边形ABCD是正方形，且BB'⊥平面ABCD, AA‘//=CC’
因为BB'⊥平面ABCD，所以AC⊥BB'
又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD
所以AC⊥平面BB’D
所以AC⊥B'D
因为AA‘//=CC’，
所以四边形AA'C'C是平行四边形。
所以AC//A'C'
又因为AC⊥B'D
所以B'D⊥A'C'
同理，B'D⊥A'B
所以B'D⊥平面A′C′B

Answer 2

1.
思路是：
由于平面B'BDD'⊥A'BC'(A'C'⊥
B'D'),而B'D在B'BDD'上，则B'DB'⊥A'BC'.
2.
思路是：
连接A'H、B'H和C'H.由于A'B'=B'B=B'C。△A'B'H、△BB'H和△C'B'H为直角三角形，且B'H为公共边，根据直角三角形的斜边直角边相等定理得，△A'B'H、△BB'H和△C'B'H是全等三角形，因此得A'H=BH=C'H.即交点H是△A′C′B的重心。