Question

化三重积分i=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz为三次积分,其曲面由z=x^2+2y^2及z=2-x^2所围成

这是基础题，求详细过程，方便我理解好举一反三，谢谢

Answer 1

先判断两个曲面的大小关系：
z = x² + 2y²为顶点在原点，开口向上的椭圆旋转抛物面
z = 2 - x²为顶点在直线y = 0上，开口向下的抛物面
所以有
==> x² + 2y² ≤ z ≤ 2 - x²
再解出在xy面的投影方程：
{ z = x² + 2y²
{ z = 2 - x²
x² + 2y² = 2 - x²
2x² + 2y² = 2
==> x² + y² ≤ 1

∴ ∫∫∫Ω ƒ(x，y，z) dxdydz
= ∫{- 1，1} dx ∫{- √(1 - x²)，√(1 - x²)} dy ∫{x² + 2y²，2 - x²} ƒ(x，y，z) dz

追问

讲的很好很详细，但是有一点我不太明白就是开始Z=x^2+2y^2和z=2-x^2之间的判断，不仅仅是这道题三重积分加入了Z坐标后，我对图像的轮廓就差了太多了，我不太擅长画图，所以空间想象能力也不太好，第一步的判断最让我头疼

追答

初接触三维的图像的确很痛苦，唯有慢慢适应
这两个曲面的大小关系也很容易判断，幸好题目够简单
z = x² + 2y²、无论x和y怎么取值，都有 z ≥ 0
z = 2 - x²、无论x的值是如何，都有z ≤ 0

追问

你解答的时候写的是x² + 2y² ≤ z ≤ 2 - x²，而且为什么2-x^2是小于等于0，从何判断？

追答

额，貌似说错了，应该是

z = x² + 2y² ≥ 0，这个曲面的最低点是z = 0

z = 2 - x² ≤ 2，最高点是z = 2

取两个曲面的并集就是x² + 2y² ≤ z ≤ 2 - x²

还是画图最清楚的。