设定义域为R的奇函数y=f(x)是减函数
设定义域为R的奇函数y=f(x)是减函数,f(cos�0�5θ+2msinθ)+f(-2m-2)>0恒成立,求m的取值范围....
设定义域为R的奇函数y=f(x)是减函数,f(cos�0�5θ+2msinθ)+f(-2m-2)>0恒成立,求m的取值范围.
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3个回答
2013-07-05
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解答:定义域为R的奇函数y=f(x),是减函数
所以奇函数所以又f(-x)=-f(x) 可以知道f(0)=0
也即是f(cos�0�5θ+2msinθ)> -f(-2m-2)=f(2m+2)
也即是f(1-sin�0�5θ+2msinθ)> f(2m+2)
1-sin�0�5θ+2msinθ<2m+2
sin�0�5θ-2msinθ+1+2m>0恒成立(看出sinθ为未知数x1的二次函数)
也即是sinθ在-1到1之间上式恒成立
画图你很容易知道有三种情况
(1)对称轴=m>=1,要求sinθ=1时,式子>0代入 发现成立。m>1
(2)对称轴=m<=-1,要求sinθ=-1时,式子>0,代入 2+4m>0即m>-1/2,不成立
(3)对称轴-1<m<1,,要求最小值大于0,也即是-m�0�5+2m+1>0求得:1-根号2<m<1+根号2
也即是1-根号2<m<1
综合以上,m>1或者1-根号2<m<1+根号2时恒成立。
所以奇函数所以又f(-x)=-f(x) 可以知道f(0)=0
也即是f(cos�0�5θ+2msinθ)> -f(-2m-2)=f(2m+2)
也即是f(1-sin�0�5θ+2msinθ)> f(2m+2)
1-sin�0�5θ+2msinθ<2m+2
sin�0�5θ-2msinθ+1+2m>0恒成立(看出sinθ为未知数x1的二次函数)
也即是sinθ在-1到1之间上式恒成立
画图你很容易知道有三种情况
(1)对称轴=m>=1,要求sinθ=1时,式子>0代入 发现成立。m>1
(2)对称轴=m<=-1,要求sinθ=-1时,式子>0,代入 2+4m>0即m>-1/2,不成立
(3)对称轴-1<m<1,,要求最小值大于0,也即是-m�0�5+2m+1>0求得:1-根号2<m<1+根号2
也即是1-根号2<m<1
综合以上,m>1或者1-根号2<m<1+根号2时恒成立。
2013-07-05
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y=f(x) 是奇函数,所以f(-2m-2)= -f(2m+2)
所以,f(cos�0�5θ+2msinθ)+f(-2m-2)=f(cos�0�5θ+2msinθ)-f(2m+2)>0,恒成立
所以,f(cos�0�5θ+2msinθ)>f(2m+2)恒成立
又因为y=f(x)是减函数,所以cos�0�5θ+2msinθ<2m+2恒成立
移向,化简得sin�0�5θ-2msinθ+2m+1>0恒成立,令t=sinθ,t属于[-1,1]
上面不等式就化为t�0�5-2mt+2m+1>0在t属于[-1,1]上恒成立
结合函数f(t)=t�0�5-2mt+2m+1的图像考虑,它的对称轴为t=m,而t的取值范围为[-1,1]
要使t�0�5-2mt+2m+1>0在t属于[-1,1]上恒成立,只要在[-1,1]区间内,f(t)最小值>0
根据对称轴的位置,分三种情况讨论
在[-1,1]上
当m≤-1时,f(t)最小值=f(-1)=1+2m+2m+1=4m+2>0,m>-1/2,此时m无解
当m≥1时,f(t)最小值=f(1)=1-2m+2m+1=2>0成立,所以此时m≥1
当-1<m<1时,f(t)最小值=f(m)=-m�0�5+2m+1>0,解得1-根号2<m<根号2+1
又因为-1<m<1,所以此时1-根号2<m<1
综上所述,m的取值范围为m>1-根号2
(若有不足之处请指正,如有帮助请采纳)
所以,f(cos�0�5θ+2msinθ)+f(-2m-2)=f(cos�0�5θ+2msinθ)-f(2m+2)>0,恒成立
所以,f(cos�0�5θ+2msinθ)>f(2m+2)恒成立
又因为y=f(x)是减函数,所以cos�0�5θ+2msinθ<2m+2恒成立
移向,化简得sin�0�5θ-2msinθ+2m+1>0恒成立,令t=sinθ,t属于[-1,1]
上面不等式就化为t�0�5-2mt+2m+1>0在t属于[-1,1]上恒成立
结合函数f(t)=t�0�5-2mt+2m+1的图像考虑,它的对称轴为t=m,而t的取值范围为[-1,1]
要使t�0�5-2mt+2m+1>0在t属于[-1,1]上恒成立,只要在[-1,1]区间内,f(t)最小值>0
根据对称轴的位置,分三种情况讨论
在[-1,1]上
当m≤-1时,f(t)最小值=f(-1)=1+2m+2m+1=4m+2>0,m>-1/2,此时m无解
当m≥1时,f(t)最小值=f(1)=1-2m+2m+1=2>0成立,所以此时m≥1
当-1<m<1时,f(t)最小值=f(m)=-m�0�5+2m+1>0,解得1-根号2<m<根号2+1
又因为-1<m<1,所以此时1-根号2<m<1
综上所述,m的取值范围为m>1-根号2
(若有不足之处请指正,如有帮助请采纳)
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2013-07-05
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f(cos�0�5θ+2msinθ)+f(-2m-2)>0
f(cos�0�5θ+2msinθ)>-f(-2m-2)=f(2m-2)
cos�0�5θ+2msinθ<2m-2
2m>(3-sin�0�5θ)/(1-sinθ)转化为点到抛物线上点的斜率。
f(cos�0�5θ+2msinθ)>-f(-2m-2)=f(2m-2)
cos�0�5θ+2msinθ<2m-2
2m>(3-sin�0�5θ)/(1-sinθ)转化为点到抛物线上点的斜率。
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