Question

求助高中数学题一道！

锐角α，β满足条件sinβ=cos(α+β)sinα
α+β不等于π/2
求tanβ最大值

PS：这是一道不等式的应用的题

Answer 1

sin2=cos(1+2)sin1
sin2=(cos1*cos2-sin1*sin2)sin1
sin2=cos1*cos2*sin1-sin1*sin2*sin1
等式两边同时除以cos2，等于
tan2=cos1*sin1-sin1*sin1*tan2
tan2就等于cos1*sin1除以1加上sin1的平方，
1加上sin1的平方等于2倍的sin1的平方加上cos1的平方
2（sin1*sin1+cos1*cos1）大于等于根号2倍的sin1*cos1
所以tan2就大于等于二分之根号二
所以tan2的最大值就等于二分之根号二

Answer 2

sinb=cos(a+b)sina
sin(a+b-a)=cos(a+b)sina
sin(a+b)cosa-sinacos(a+b)=cos(a+b)sina
sin(a+b)cosa=2sinacos(a+b)------α+β不等于π/2
tan(a+b)=2tana

tanb
=tan(a+b-a)
=(tan(a+b)-tana)/(1+tan(a+b)tana)
=(2tana-tana)/(1+2tanatana)
=tana/(1+2tan²a)
=1/[(1/tana)+2tana]----(1/tana)+2tana>=2根号2
<=1/(2根号2)
=(根号2)/4

tanb的最大值是(根号2)/4

Answer 3

同时除以cosβ
tanβ＝sinαcosα－(sinα)^2tanβ
(1+(sinα)^2)tanβ=sinαcosα
所以tanβ=2sinαcosα/(2+2sinαsinα)=(sin2α)/(3-cos2α)
=－sint/(－3＋cost)
转化为单位圆上一点（cost，sint）与（3，0）连线的斜率的相反数
tanβ最大值 为(1/4)(2)^0.5

Answer 4

由原式可推得 sinβ/cosβ=cos(α+β)sinα/cosβ
化解上面的等式 可得到
tanβ=(cosα-sinαtanβ)sinα 再次 化解 并且将tanβ移到等号左边，可得。。。
哎。。。太难编写了，答案等于1/4，其他的自己摸索吧

Answer 5

sinβ=cos(α+β)sinα

=cosαcosβsinα - sinαsinβsinα

所以

sinβ(1+sinαsinα)=sinαcosαcosβ

所以
sinβ/cosβ=sinαcosα/(1+sinαsinα)

因此有

tanβ=sinαcosα/(1+sinαsinα)