Question

微分方程。为什么这样写是错的呢？

微分方程。为什么这样写是错的呢？为什么是答案那样子

Answer 1

p=y'
y'是关于x的函数，不是简单的一个自变量，求导要用复合函数求导法则
举个例子：y=2x，求y²的导数
y²=4x²，求导后是8x，这是正解
如果你简单的把y当成一个自变量，求导后就是2y，2y=4x，就错了
y这一个字母就已经是函数了，正解是按照复合函数求导法则
(y²)'=y'·2y，这才是对的，验证：y'·2y=2·4x=8x，正确

追答

你的算法就是把y看成了一个简单的自变量，直接p对y进行求导
其实是p对x求导
函数不能对函数求导，只能对自变量求导，这里y，p都是函数，x是自变量

追问

我有点混乱了…

追答

怎么混乱

追问

那为啥这题能直接对x求导呢

追答

我上面是说不能直接对y求导，不是说x
而且，是只能对x进行求导，因为只有x是自变量

啥叫“为什么能直接对x求导”？-_-
本来就只能对x求导，不能对y求导

追问

哦哦 不好意思 哈哈 我大概明白了

谢谢你

追答

不客气

追问

想再问问为什么方程y"=1+(y')^2 设:y'=p' 而不是设y"=p*(dp/dy)
但方程方程y"=(y')^3+y' 设的是y'=p y"=p*(dp/dy)呢?

追答

我好像明白你在混乱什么了
你是不是说两个图为什么一个dp下面是dx，一个dp下面是dy吗
这和求导没关系，他们本质都是对x求导，只是表达方式不同
你问题一开始问的那个图，之所以写成下面是dy，而不写成dx的形式，是因为解题需要，等式中只有y和p，才能积分，如果还混进去个dx，就没办法积分了

y''=pdp/dy是通过y'=p推出来的，不是设的

都是设y'=p

追问

嗯嗯

以下这张图就是我混乱的

不过你的解释我大概懂了

追答

...

都是设y'=p啊

不管是不含x还是不含y，都是设y'=p

y''=dp/dx和y''=pdp/dy是完全等价的

都是通过y'=p推导的

都是设y'=p
不含y的方程y''处理成带dx的形式，这样方程中就只有p和x，接着积分就行
不含x的方程y''处理成不带dx的形式，这样方程中就只有p和y，然后积分

懂了么-_-

追问

可是我上面那张图的题目

他既不含y也不含x

要设成什么呢

追答

怎么不含y

方程第一个字母就是y

所以y''写成不带dx的形式

哦哦，你是说红笔写的那个图吗

那就无所谓了

都行

但是肯定是写成pdp/dy更方便

因为后面还有个y'²呢

追问

追答

你如果弄成dx的，你y'²也得转化一下

弄成dy的，y'²直接变成p²就行了

追问

如果你说的那个方程有显含y 那书本我画的红线那道题不是也有显含y吗

追答

你这张图想说什么-_-？没看懂

追问

而且那道题答案是写成带dx的

我就是不懂这一点(｡ì _ í｡)

追答

那也没关系啊

只要对就行

微分方程有很多题都是有很多解法的，同一种方法也有可能写出不同的等价形式

不要死搬硬套

要理解方法的本质

不含x或者y的，方法本质都是设p=y'，后面的怎么转化，你写的对就行

追问

好 明白啦 谢谢你～

追答

😃

Answer 2

人家p是对X求导，不是对Y求导
p=y'=dy/dx,
P'=dp/dx=（dp/dy）*(dy/dx)=dp/dy*p

追问

为什么p‘有时候等于dp/dx
有时候等于pdp/dy呢