Question

为什么用“泰勒公式”展开sinx变成了这个？

Answer 1

泰勒公式中的o()是多少是根据展开到第几项决定的。

1. 比如用公式，sinx展开到x：sinx=x+o(x)。
   展开到x^2：sinx=x+o(x^2)（注意到x^2系数为0）。

2. 求具体无穷小阶数根据定义：

   f(x)/x^a有极限时a的值在具体计算时可以多展开几项，比如2sinx-sin2x：
   2sinx-sin2x=2(x+o(x))-(2x+o(x))=o(x)的话无法确定。

   但是2sinx-sin2x=2[x-1/6x^3+o(x^3)]-[2x-1/6*(2x)^3+o(x^3)]=x^3+o(x^3)就可以出来了。。

Answer 2

为什么用“泰勒公式”展开sinx变成：

数学中， 泰勒公式是一个用 函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够 平滑的话，在已知函数在某一点的各阶 导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克· 泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。

拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的 泰勒定理。