∫(1/(x^2+1)^2)dx的不定积分为1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C。
解:令x=tant,则t=arctanx,且x^2+1=(tant)^2+1=(sect)^2
∫(1/(x^2+1)^2)dx
=∫(1/(sect)^4)dtant
=∫((sect)^2/(sect)^4)dt
=∫(1/(sect)^2)dt
=∫(cost)^2dt
=1/2∫(cos2t+1)dt
=1/2∫cos2tdt+1/2∫1dt
=1/4sin2t+1/2t+C
=1/2sintcost+1/2t+C
由于x=tant,则sinxcosx=x/(1+x^2)
则∫(1/(x^2+1)^2)dx=1/2sintcost+1/2t+C
=1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C
扩展资料:
一、第一类换元法(即凑微分法)
通过凑微分,最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如
。
二、注:第二类换元法的变换式必须可逆,并且在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候,为了避免繁琐的展开式,有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种:
1、 根式代换法,
2、 三角代换法。
在实际应用中,代换法最常见的是链式法则,而往往用此代替前面所说的换元。
答案是1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C
具体步骤如下:
∫(1/(x^2+1)^2)dx的不定积分为1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C。
解:令x=tant,则t=arctanx,且x^2+1=(tant)^2+1=(sect)^2
∫(1/(x^2+1)^2)dx
=∫(1/(sect)^4)dtant
=∫((sect)^2/(sect)^4)dt
=∫(1/(sect)^2)dt
=∫(cost)^2dt
=1/2∫(cos2t+1)dt
=1/2∫cos2tdt+1/2∫1dt
=1/4sin2t+1/2t+C
=1/2sintcost+1/2t+C
由于x=tant,则sinxcosx=x/(1+x^2)
则∫(1/(x^2+1)^2)dx=1/2sintcost+1/2t+C
=1/2*x/(1+x^2)+1/2arctanx+C
扩展资料
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C