Question

立体几何 用向量法做题

第二小问麻烦用向量法解一下，非常感谢

Answer 1

见下图，已知：PE//DC//AB，AD⊥DC⊥PD，AD=PD=AB=2PE，DC=3PE，EF=FC，DO=OB；求证：（1）BF//平面ADP。（2）BD⊥平面AOF。

证明：（1）设PE=1，以D为原点，DA为X轴，DC为Y轴，DP为Z轴建立直角坐标系0-XYZ。各点坐标如下：D(0,0,0), A(2,0,0),B(2,2,0), F(0,2,1),O(1,1,0),P(0,0,2);

形成向量如下：DA={2,0,0},AP={-2,0,2}, BF={-2,-2,1}; 设平面ADP的法向量为n，则有：

n=DAxAP={2,0,0}x{-2,0,2}={0,-4,0}; 因为n·BF={0,-4,0}·{-2,0,1}=0， 所以：n⊥BF，即BF//平面ADP。

（2）AF={-2,2,1}, AO ={-1,1,0}, BD={-2,-2,0}. 设平面AOF的法向量为n'，则有：

n'=AFxAO={-2,2,1}x{-1,1,0}={-1,-1,0}; 因为n'xBD={-1,-1,0}x{-2,-2,0}={0,0,0}, 所以n'//BD，即BD⊥平面AOF。证毕。