Question

摆线为什么关于π对称,二重积分为0

Answer 1

根据公式可以证明：

S=∫ydx

=∫<φ从0到2π> a(1-cosφ) d a(φ-sinφ)

=a²·∫<φ从0到2π> (1-cosφ)² d φ

=a²·∫<φ从0到2π> (1-2cosφ+cos²φ) d φ

=a²·∫<φ从0到2π> (1-2cosφ + (1+cos(2φ) )/2 ) d φ

=a²·∫<φ从0到2π> (3/2 - 2cosφ + (1/2)·cos(2φ) ) d φ

=a²· ((3/2)φ - 2sinφ + (1/4)·sin(2φ) |<φ从0到2π>

=3πa²

扩展资料

二重积分化为累次积分后，被积表达式ydy应写成tdt以示与积分上限的区别。

其实，当把原积分化为先对y、后对x的积分时，在把x的积分限确定之后，为了确定y的积分限，通常的做法是在横轴坐标为x的变化区间内随便一点x处，作垂直于x轴的直线，从下向上看该直线时，直线进入原积分区域的点对应的纵坐标即为y的下限，而直线穿出原积分区域的点对应的纵坐标即为y的上限。

Answer 2

S=∫ydx
=∫<φ从0到2π> a(1-cosφ) d a(φ-sinφ)
=a²·∫<φ从0到2π> (1-cosφ)² d φ
=a²·∫<φ从0到2π> (1-2cosφ+cos²φ) d φ
=a²·∫<φ从0到2π> (1-2cosφ + (1+cos(2φ) )/2 ) d φ
=a²·∫<φ从0到2π> (3/2 - 2cosφ + (1/2)·cos(2φ) ) d φ
=a²· ((3/2)φ - 2sinφ + (1/4)·sin(2φ) |<φ从0到2π>
=3πa²