Question

高数二重积分交换积分次序后对应的上下限取值问题。求大佬解释

如图，例11.8右下角黑笔写的是问题，求大佬解释，拜谢

Answer 1

根据原积分次序的两个积分限画出区域D的草图，再根据这个草图确定另一积分次序的积分上下限。
以题主所说的例题，由0≤y≤1，y≤x≤1画出区域D的草图是由x轴与二直线y＝x、x＝1围成的区域，再由这个草图确定先对y积分、再对x积分的积分限：x的最大变化范围显然是0≤x≤1，区域内任一点x对应的y的变化范围是0≤y≤x，即x的积分限是从0到1、y的积分限是从0到x.

追问

第二个图清楚一些，为什么取值范围是你说的那个范围。不是我写的那种，如果对y积分，怎么就不能写成上下限是0到1它最大也就取到1啊。而要写成0到x
求解

追答

是这样，在确定了x的变化范围[0, 1]之后，为了确定y的上下限，在x轴上0与1之间任取一点x，过这点作垂直于x轴的直线，看这条直线何时进入区域D，又何时滑出区域D，其中进入D时对应的y的值就是下限，而滑出D时y的值就是上限。上面所作直线显然从x轴（y＝0)开始进入D，所以y的下限是0；又该直线是在与直线y＝x的交点处滑出D，而该交点对应的纵坐标就是x（把x代入直线的方程y＝x得到），所以y的上限就是x.

二重积分在计算时积分限的确定过程就是上面所说的过程，具体分两种情况（请一定认真读懂，必要时画图）：
1.若选择先对x、后对y积分，则要将积分区域D向y轴投影。在投影过程中，D的边界曲线被分为两段：x＝X1(y)与x＝X2(y). 区域D在y轴上的投影是一个区间[c, d]，则y的积分下限是c、上限是d。
为了确定x的上下限，在y轴上c与d之间任取一点y，过该点作垂直于y轴的有向直线，该直线是从左往右方向的，它在与D的左侧边界曲线x＝X1(x)

的交点处进入D，而从与右侧边界曲线x＝X2(y)的交点处滑出D，于是x的下限就是X1(y)、上限是X2(y)

另一积分次序（先对y、后对x积分）的积分限确定是先将D向x轴投影，投影区域是一个区间[a, b]，则x的下限是a、上限是b。
在将D向x轴投影的同时，D的边界曲线被分为两段：下面一段y＝Y1(x)与上面一段y＝Y2(x)，这时y的下限就是Y1(x)、上限是Y2(x)

追问

太感谢了。

大佬，我还有一个问题，你第一个那里说看何时进去D区域，万一是从上往下进，那不就先过y＝x后到y＝0了吗。。。

追答

需要记住的是，先对x、后对y积分时，确定x的积分限总是“从左向右”看直线进入、滑出区域D的；而先对y、后对x积分时，确定y的积分限总是“从下向上”看直线进入、滑出区域D的

追问

感谢感谢

追答

不客气

Answer 2

因为根号(x^2-y^2)对y积分的时候，积分变量是y，x相当于是常数。所以可以看成是根号(a^2-x-2)对于x进行积分。