Question

数学立体几何第二问？

Answer 1

立体几何作为历年来高考数学的一个重点和热点，一直是必考内容之一。纵观全国各地高考数学试卷，我们可以很直观地看到每年必有一道解答题或若干道填空题、选择题是与立体几何有关的。
虽然很多老师经常强调立体几何的重要性，但很多考生在此块内容上的得分率并不高。同时，这也给即将参加高考的考生一个提醒，若能把立体几何这块知识内容吃透，必将提高高考数学成绩。
在高考数学中，与立体几何有关的客观题主要考查基本位置关系的判定，以及柱、锥、球的角、距离、体积计算为主，具有短小精悍，新颖别致，设计独特，能力立意高等特点；解答题则以证明空间线面的位置关系和有关数量关系计算为主，如空间线面平行、垂直的判定与证明，线面角和距离的计算。
通过立体几何相关问题的设置，能很好考查考生的空间想象能力、推理论证能力，以及化归和转化能力等，体现高考数学选拔人才的功能。
高考数学立体几何，典型例题分析1：
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求三棱锥A－PBC的体积．
解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，CD＝2，所以BF綊CD.
所以四边形BCDF为平行四边形．
所以DF∥BC.
在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，所以EF∥PB.
又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，
所以平面DEF∥平面PBC.
因为DE平面DEF，所以DE∥平面PBC.
(2)取AD的中点O，连接PO.
在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，
所以PO⊥AD，PO＝.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PO⊥平面ABCD.
与平行和垂直有关的立体几何问题，我们一定要深挖题目的条件，结合相关性质定理，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)，联系结论，逐渐找到解题思路。
值得注意：三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。