Question

为什么一阶线性微分方程通解公式中∫p(x)dx积分结果可以不带常数C？算的通解多出来一个常数，如图

就是问为什么这里e^-∫(2/y)dy=e^-2ln｜y｜不是应该是e^(-2ln｜y｜+C)吗？

Answer 1

这个是你算错了，就算加多一个常数，也是可以抵消的

Answer 2

一阶微分方程只有一个积分常数 C，已经加在通解之中了，此处无需再加。

追问

有详细的推导吗？举个具体例子也行

追答

可以这样理解：n 阶微分方程的解 y， 求导或微分 n 次，可将 n 个积分常数消掉。

微分方程有这个概念，一般不严密推导。见下 (3).

追问

下(3)？

我就是想自己推导不然老感觉公式用着怪怪的，可能是强迫症(*￣m￣)

我也知道n阶的微分方程的解自然含有n个常数，但总有证明才更逻辑严密啊

Answer 3

这个问题其实不需要纠结，书上有推导，推导时肯定c是能合并到一起的，我没推过，按书上来就行了

追问

实际解题中多出来一个常数C

追答

不用推的，直接记住这个公式就行了

你这个推导是错的！公式已经将c1合并到c2了，你自己再反过来加个c1，那结果肯定会多出来c1！我把正确的公式推导过程发给你看

这个非齐次的通解是通过常数变易法求出来的，常数变易法就是把齐次中的c1当成函数u来求出来，所以c1求出来就等于后面括号的函数加c2，c1就没有了，你再把c1加上去就错了

追问

C1怎么合并到C2里面呢？能举个例子吗？

我尝试着再推导然后把C1合并到C2里面去(化成和的形式)，但是好像函数系数里面还是C1.

追答

你走进误区了，不要用正确的公式改成错误的，然后计算出来再来说公式不对！求非齐次的解的方法就是先求齐次的通解，再用常数变易法，你好好看看我发的书上的推导

追问

可是这就是套用公式的结果呀！不加常数C就不满足不定积分的运算规则

追答

你再看书上的推导括号里就是c1，c1就是齐次方程求解的常数

书上已经把括号外面积分的c1当未知数求出了括号里函数的形式

Answer 4

看了度娘里的常数变易法，豁然开朗，建议你自己百度一下，我也不会，在百度看看有没有人解答，看到你写的了。那个你求出来的c会被约掉，挺感谢你