Question

下面的数学逻辑题，求详解，怎么做出来

某届运动会上，甲乙丙3人参加了5个项目的比赛，且包揽了这5个项目的前三名。按积分规定，各名次积分不等，最终甲得22分，乙丙各得9分，且乙获得至少一个第一名，请问甲乙丙分别获得几个第一名，几个第二名，几个第三名？

Answer 1

如果我理解的没问题，这里包揽是说的，这五个项目的前三名，是且只能是这甲乙丙三个人？但这里有个问题，可以第三名0分吗。我们这样计算一下，那单个项目的一二三名得分加起来应该是=（22+9+9）÷5=8分。鉴于3个名次得分不等，如果没有0分和负数，那第一名=4分，第二名=3分，第三名=1分。是唯一符合要求的分值排列了。所以，甲得22分，鉴于一个人不可能在同一个项目里有两个名次，而乙至少有1个第一，那甲最多4个第一是16分，还剩6分，可只有1项了，不够了。
我们讨论一下，如果第三名0分，第一名7分第二名1分。这样需要甲，三个第一，一个第二，一个第三，22分。乙一个第一，两个第二，两个第三，9分。丙和乙一样，9分，刚刚好。
如果第三名0分，第二2分，第一6分，乙和丙无法实现得9分。同样第三名3分，第一名5分时，鉴于乙至少一个第一，也实现不了9分。没别的情况了。
这里没讨论并列得分的问题

追答

5，2，1，也是个得分情况。这样，甲就四个第一，一个第二，乙一个第一，四个第三，丙，四个第二，一个第三，也符合要求。这个忘记写了

Answer 2

他们三人一共得了 22+9+9=40 分。
一共 5 个项目，那么每个项目前三名的分数和为 40÷5=8 分
那么，前三名的分值只有两种可能：5、2、1 和 4、3、1
他们每个项目都包揽前三，说明他们每人均获得五个名次。
突破口：乙总分9，且至少一个第一
如果第一4分，那么剩下的5分，要求四个项目，无法分成3和1的组合。
从而，4、3、1 的分数情况不符合。
所以只能是 前三名分值依次为：5、2、1
甲：22分，只能是 22=5×4+2，即 4 个第一 和 1 个第二；
乙：9分，且有第一，只能是 9=5+1×4，即 1 个第一 和 4 个第三；
丙：9分，排除上面这些名次，剩下的就是了，即 4 个第二 和 1 个第三。
经验算，丙的分数 2×4+1=9，满足要求。

追问

五个项目不会出现有零分的，所以你看看怎么算。求解

五个项目不会出现有零分的，所以你看看怎么算。求解

追答

我不是已经作答了吗？
每个项目的前三名的分数之和为 8；
一、二、三名的分值只能两种情况：5、2、1 和 4、3、1。
根据乙的得分情况，推断 4、3、1 不可能。
从而，前三名的分值依次为 5、2、1。
接下来就很简单了。
现在看懂了吗？

Answer 3

先看得了第一名得几分，既不能太高，也不能太低。5个项目，甲得22分，乙至少一个第一，那么第一至少5分。如果第一得6分，则乙除了第一的6分，其他4个项目合计3分，不符合。所以第一名得5分。那么乙只能1个第一，4个第三（第三只能得1分），甲4个第一，1个第二（第二2分），丙4个第二，1个第三，得9分。