lim(arctanx/x)的1/x^ 2 x趋近于0等于多少
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∵lim(x→0)[lnarctanx-lnx]/x^2=lim(x→0)[(1/arctanx)(1/1+x^2)-1/x]/2x
=lim(x→0)[x-(1+x^2)arctanx]/2x^2arctanx(1+x^2)=lim(x→0)[x-(1+x^2)arctanx]/2x^3
=lim(x→0)[1-2xarctanx-1]/6x^2=-1/3
∴lim(x→0)(arctanx/x)^(1/x^ 2)=e^(-1/3)
=lim(x→0)[x-(1+x^2)arctanx]/2x^2arctanx(1+x^2)=lim(x→0)[x-(1+x^2)arctanx]/2x^3
=lim(x→0)[1-2xarctanx-1]/6x^2=-1/3
∴lim(x→0)(arctanx/x)^(1/x^ 2)=e^(-1/3)
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追问
请问为什么不能把arctanx等价无穷小替换为x在去做？
追答
在与代数式的其他部分有加减关系时，要慎用等价无穷小代换，看不清楚就不可用。
其实本题，我在解题时在有些地方也用到了arctanx～x，但如何把握火候，不是一两句话可以说得清。
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