Question

已知f(x)=lg(x+a/x-2),其中a是大于零的常数

1、求函数的定义域2、当a属于(0,4)时，求函数f(x)在[2,正无穷）上的最小值3、若对任意范围x属于[2,正无穷）恒有f(x)>0，试确定a的取值范围

Answer 1

应该分类讨论吧
1） x应满足x不等于0 且X+a/X-2>0 →(x�0�5-2x+a)/x>0 →(x�0�5-2x+a)x>0 →[(x-1)�0�5+a-1]x>0
当x<0 (x-1)�0�5>1 那么(x-1)�0�5+a-1>0 不和题意
当x>0 [(x-1)�0�5+a-1]x>0 (x-1)�0�5+a-1>0
(x-1)�0�5>1-a
当0<a<1 1-a>0 |x-1|>根号下1-a x> 1+根号下1-a 或0<x<1-根号下1-a
当a=1 1-a=0 得x不等于0
当a>1 1-a<0 得x不等于0
综上所述 X的定义域 当0<a<1x> x> 1+根号下1-a 或0<x<1-根号下1-a 当a>=1 x不等于0

2）f(x)=lgx单调递增 令 g(x)=x+a/x-2
g(x)的导数g^(x)=1-a/x�0�5 当a∈（1，4）X∈[2，+∞]时 g^(x)>0
那么g(x)单调递增 所以f（x）在[2，+∞）上单调递增
函数f（x）在[2，+∞）上的最小值为f(2)=lg(2+a/2-2)=lg(a/2)

3）由2）得当a∈（1，4）f（x）最小值为lg(a/2)
lg(a/2)>0 则a∈（2，4）
若a∈[4，正无穷）令g^(x)=0 x=根号a
f(x)的最小值为f(根号a)=lg(2根号a-2)>0得a∈[4，正无穷）
若a∈（0,1] g^(x)>0 g(x)单调递增 f（x）在[2，+∞）上单调递增f（x）最小值lg(a/2)>0 a∈（2，4）与a∈（0,1]矛盾

a的取值范围为(2，正无穷）