Question

如果不等式x^2-2ax+1≥1/2(x-1)^2对一切函数都成立，a的取值范围是

Answer 1

如果不等式x²-2ax+1≥1/2(x-1)²对一切函数都成立？
应该是“如果不等式x²-2ax+1≥1/2(x-1)²对一切实数都成立”吧？
如果是的话：

解：
x²-2ax+1≥1/2(x-1)²
2x²-4ax+2≥x²-2x+1
x²-2(2a-1)x+1≥0
x²-2(2a-1)x+(2a-1)²-(2a-1)²+1≥0
[x-(2a-1)]²-(2a-1)²+1≥0
[x-(2a-1)]²≥(2a-1)²-1
[x-(2a-1)]²≥4a²-4a
因为：[x-(2a-1)]²≥0，
所以：
1、当4a²-4a≤0时，显然有：[x-(2a-1)]²≥4a²-4a
此时，有：a(a-1)≤0
有：a≥0、a-1≤0……………………(1)
或：a≤0、a-1≥0……………………(2)
由(1)有：a≥0、a≤1，解得：a∈[0，1]
由(2)有：a≤0、a≥1，矛盾，无解。
2、当4a²-4a＞0时，有：
即：a(a-1)＞0
有：a＞0、a-1＞0……………………(3)
或：a＜0、a-1＜0……………………(4)
由(3)有：a＞0、a＞1，解得：a＞1
由(4)有：a＜0、a＜1，解得：a＜0
因此，当a∈(-∞，0)∪(1，∞)时，有：
[x-(2a-1)]²≥4a²-4a
x-(2a-1)≤-2√(a²-a)、x-(2a-1)≥2√(a²-a)
x≤2a-1-2√(a²-a)、x≥2a-1+2√(a²-a)
因此，有：2a-1-2√(a²-a)≥2a-1+2√(a²-a)
-√(a²-a)≥√(a²-a)
上式要想成立，必有：a=0、a=1
此与a∈(-∞，0)∪(1，∞)矛盾。
综上所述，所求a的取值范围是a∈[0，1]。

Answer 2

x^2-2ax+1≥1/2(x-1)^2，
2X^2-4aX+2≥X^2-2X+1
X^2+(2-4a)X+1≥0，
Δ=(2-4a)^2-4=16a^2-16a=16a(a-1)≤0，
0≤a≤1。