Question

如图,已知a//b,点A为直线上的动点,点B为直线a,b之间的定点,点C为直线b上的定点.

如图，已知a//b，点A为直线上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线b上的定点。（1）当∠DAB与∠ECB互余（如图1）时,AB与BC存在怎样的位置关系？请说明理由。（2）在（1）的条件下，将等腰直角三角尺的一个锐角顶点与点B重合放置（如图2）。BM平分∠ABP，交直线a于点M。BN平分∠QBC，交直线b于点N。当三角尺绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；（3）点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF,∠ABC的平分线交直线a于点G。当点A移动时，求∠FBG除以∠ECB的值；





Answer 1

（1）AB与BC垂直

过B作a与b的平行线

∠1=∠2，∠3=∠4，内错角相等

所以∠1+∠3=∠2+∠4

而∠1+∠3=90°

所以∠2+∠4=90°

即AB与BC垂直

（3）∠AFB=∠1+∠2，三角形外角的性质

由（1）可知∠3=∠2+∠4

又∠3=∠ABG（已知平分线），而∠ABG=∠1+∠ABF

所以∠2+∠4=∠1+∠ABF，

又∠AFB=∠ABF

所以∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，即∠4=2∠1

得∠FBG/∠ECB=0.5

 

（2）∠ABG=∠ABC+∠QBP-∠1=90°+45°-∠1

有∠ABG+∠1=135°

∠ABG=∠1+∠ABP+∠QBC

所以2∠1+∠ABP+∠QBC=135°

又∠MBP=1/2∠ABP，∠NBC=1/2∠QBC

所以2∠1+2∠MBP+2∠NBC=135°，即∠1+∠MBP+∠NBC=67.5°

由（1）

∠DMB+∠ENB=∠MBN=∠1+∠MBP+∠NBC

所以∠DMB+∠ENB=67.5°