Question

若a的平方加b的平方等于1，x的平方加y的平方等于1，求ax+by的取值范围

Answer 1

由a^2+b^2=1 x^2+y^2=1可得x^2+a^2+y^2+b^2=2则有 x^2+2ax+a^2+y^2+2by+b^2=2+2ax+2by即(a+x)^2+(y+b)^2=2+2*(ax+by)而(a+x)^2>=4ax当且仅当a=x时等号成立 (b+y)^2>=4by当且仅当b=y时等号成立故有2+2*(ax+by)>=4ax+4by即2>=2*(ax+by)由此可得ax+by<=1，当且仅当a=x,b=y时等号成立

Answer 2

两式相加，得a�0�5+x�0�5+b�0�5+y�0�5=2(a+x)�0�5+(b+y)�0�5-2(ax+by)=2因为(a+x)�0�5+(b+y)�0�5≥0所以，2(ax+by)+2≥0ax+by≥-1