Question

已知函数f(x)=ax^3+cx+d(a不=0）

Answer 1

解：因为函数f(x)=ax^3+cx+d(a不=0）是R上的奇函数
所以f(0)=0,解得d=0，故f(x)=ax^3+cx。
f(x)的导数=3ax^2+c。
因为当x=1时f(x)取得极值-2.所以f(1)=a+c=-2
且f(1)的导数等于0（因为它是极值）
即3a+c=0，由a+c=-2,3a+c=0联立解得：a=1,c=-3。
故f(x)=x^3-3x。f(x)的导数=3x^2-3。
（1）当f(x)的导数=3x^2-3>0，解得：x>1或x<-1，
当f(x)的导数=3x^2-3<0，解得：-1<x<1。
所以（-无穷，-1），（1，+无穷）为f(x)的单调增区间。
（-1，1）为f(x)的单调减区间
当x=-1时，有极大值f(-1)=2
当x=1时f(x)取得极小值-2.
(2)因为(-1,1)为f(x)的单调减区间,
所以对任意x1,x2属于（-1，1），都有f(1)<f(x1),f(x2)<f(-1)，
即-2<f(x1),f(x2)<2。
所以不等式-4<f(x1)-f(x2)<4恒成立。