Question

已知函数f(x)=cos^4x-2sinxcosx-sin^4x

(1)求f(x)的最小正周期
(2)当x∈【0，π/2】时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合
解：f(x)=cos^4x-2sinxcosx-sin^4x
=cos^4x-sin^4x-2sinxcosx
=(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)-2sinxcosx
我做到这里就不会了 请问下一步怎么化简？

Answer 1

解由f(x)=cos^4x-2sinxcosx-sin^4x
=cos^4x-sin^4x-2sinxcosx
=(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)-2sinxcosx
=1*(cos^2x-sin^2x)-2sinxcosx
=cos2x-sin2x
=√2（√2/2cos2x-√2/2sin2x）
=√2cos（2x+π/4)
即（1）f(x)的最小正周期T=2π/2=π
（2）由x∈【0，π/2】时
即0≤x≤π/2
即0≤2x≤π
即π/4≤2x+π/4≤5/4π
即当2x+π/4=π时，f（x）有最小值-√2
即x=3/8π时，f（x）有最小值-√2
即f(x)的最小值为-√2以及取得最小值时x的集合｛x/x=3/8π｝。

追问

看了你的答案我恍然大悟~！ 也意识到自己做题没思路 怎么煅炼思路啊？

追答

三角函数的答题就这几类，多做几道就好了.

追问

还有一个问题 就拿这道题来说 cos2x-sin2x 老师说要用√a^2+b^2 sin(α+φ） 但是如果老师没有提醒的话 怎么才能看出要用辅助角公式？

追答

你好是asinx+bcosx=√（a²+b²）sin(x+φ）
更一般的表达式为asinwx+bcoswx=√（a²+b²）sin(wx+φ）

Answer 2

cos^2x+sin^2x=1
原式=(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)-2sinxcosx
=cos^2x-sin^2x-2sinxcosx
=cos2x-sin2x
=√2[(√2/2)cos2x-(√2/2)sin2x]
=√2cos(π/4+2x)
周期2π/2=π
当π/4+2x=π+2kπ时，即x=3π/8时，f(x)最小=-√2

追问

cos2x-sin2x中的cos2x怎么来的？

追答

cos^2x-sin^2x=cos2x

三角二倍角公式

追问

但是前面还有一个cos^2x+sin^2x啊

追答

cos^2x+sin^2x=1
基本公式

Answer 3

(1)
f(x)=(cosx)^4-2sinxcosx-(sinx)^4
= (cosx)^2-(sinx)^2 - 2sinxcosx
= cos(2x) - sin(2x)
= √2cos(2x+π/4)
最小正周期 =π
(2)
x∈[0，π/2]
min f(x) = -√2

x = 3π/8

Answer 4

=cos^2x-sin^2x-2sinxcosx=cos2x-sin2x