Question

一道高等数学复合函数求导的问题

麻烦看一下我图片写的两个问题，请各位老师指导一下

Answer 1

首先，你会问这两个问题证明你那个分析还没看懂，这个分析的意思是说我们先假设结论成立，由结论其中一个性质可以得到某一结果，我们在用这个结果去做另一个性质（或叫换种方式），如果这另外一个性质也是成立的话，证明第一个性质成立，即结论成立。
第一个问题，“上式”指上一排“令t=1，则……”那个式子，首先你看分析，他说由（*）可导出（**），你这个问题上面的部分就是在做这个导出的结果，后面又逆着导就是在考察第一步做出的结果，所以设结果成立，换着方式推，看对不对，对，证明结论成立，所以就是那个式子。
第二个问题，其实也是一个道理，你后面做的那个Ψ（t）（没找到那个符号，将就用吧）也是在第一个推导过程以及结果成立的基础上做的，所以这里说的是第三排那个式子，即“……为恒等式，将该式两端对t求导，得”下面那个式子。
希望我的回答可以帮到你，望采纳，谢谢！

追问

由第三排那个式子，怎么推出画线式子等于0呢？不是只有当t=1的时候，画线式子才等于0吗？但是证明的前提不是对任意的t 吗？

追答

这个，我给你说的是没问题的，是你没看清楚式子，你看你自己画线的式子的最后一项是什么，是关于tx,ty的看到没，而我和你说的第三排的那个是xy的，你把他按假设成立的变一下不就是我说的了，你是一下，对吗，而且这本来就是对任意t。看到你这样问，我想你应该除此外还有些不解为什么要假设t为1时成立吧，你看用那这个结论推出的fnx和fx的关系是什么，符合题意吧，后面证那个那个导数为0是想说这个关系还没变，即要证明这个特解也是通解，可以理解吗，这次是用手机发的，可能说得没那么清楚，再不懂可以再问，希望可以帮到你

追问

设这个式子成立，是以t=1的前提，但是他考察的式子是对于任意t，

即如果t=2时，假设成立的这个式子

是不是就未必成立了，那这样的话，如果利用这个假设成立的式子，不就推倒不出这个式子等于0了？

追答

你的问题问得不错，但是其实这个问题还是如果你细心看题就不会有的，我还是用的手机，式子不好打，大概意思和你说一下。你说令t为2，但是你把t为2带到"令t=1,则..."上一排的式子里看看得到了什么，等号左边函数括号里的都是2x2y，和我们要的结果没有直接关系，如果说我们要得到题目的结论，还得把这个2x2y转化成xy，这又回到了答案做的东西。另外就你的这个想法我想和你说些东西，再做这一类有关函数变形等一类问题的时候，首先解决问题不是上手就做，而是先看看题目意图，再看题目的要求。就拿这个题目来说，它的意图是什么，有点类似于把函数降介吧，把nx变到x，再说要求呢，是要你变成和xy的关系吧，不是2x2y或x方y方的关系吧。那么解题不看答案时我们如果也采用了题目的这种解题思路，先假使某结论成立，我们应该假设什么呢，基于形式要求以及这题目真没绕什么弯，所以直接假设结论成立。后面就顺着做就是了这就是我想说的思路问题，希望这些可以帮到你，以前的问题弄明白没有？此外有问题也可以再问

追问

首先你给提供的解题思路真的很不错，其次，其实我还是没懂这个题目，哈哈我笨啊，答案中假设的结论是对于t=1时候成立的，但是要论证的结论是对于任意t，t=2,3等等，那么我想问是为什么可以用一个小范围内成立的条件去推倒一个大范围的结论，假设的结论是对于t=1成立，那么推出的结论，不应该只在t=1成立吗

追答

你会这样问说明你对这个t的含义的理解有点偏差。这个t它不是代表特殊值的意思，如果你同意我上一次的思路的话，应该不难理解题目的要求是要我们把nxny这个介次降到xy这个介次来吧，而这个题里，你可以看到t是在括号里的吧，那么事实上这个t的含义就代表了我们所需要的介次，而你再看题目要我们证的命题，介次是一吧，也就是说取一是题目的要求，一种必然的结果，如果你非要取二三之类的话，那么你描述的就是介次为二三的时候的关系，错肯定没错，可是那是不需要的结果。我想这时也许你还会问为什么介次为一和为二为三的时候关系都不同呢，因为这是抽象函数，假设它存在一个基本的式子时，它的结构是在改变的，随着自变量结构的改变而改变，当自变量从xy变到2x2y时可不是做个乘法就完了的，它是函数结构的一种改变，所以随着我们要的介次不同，转化关系也就不同了。再回到这个题目，一介和二介之间存在差异也就很正常了，而两个关系都是对的。基于上面说的，换句话说，这个题其实就是要我们证明介次为一的特殊情况。希望这次的回答可以帮到你。