Question

初二几何证明题

正方形abcd和正方形aefg中，连接cf，取cf中点p，连接bp，gp，bg得三角形gpb；求：1.当点f在ab上时，三角形pgb是什么三角形？证明；2.当点f在对角线ac上时，1中结论是否成立，请说明理由。3，当点f在平面上不同于a点的任意位置时，1中结论是否成立，证明？

Answer 1

1 等腰直角三角形：CGFB是以P为圆心PB为半径的圆上的四点，而
∠GPB=2(180°-∠PFG-∠PFB) =2∠AFG=90°,所以为等腰RT三角形
2 成立：设AB=a，AE=b，则在三角形PGA中利用余弦定理可得PG^2=(a^2+b^2)/2,同样三角形CPB
中PB^2=(a^2+b^2)/2,而BG^2=a^2+b^2，所以结论成立
3 同样成立，可以设一个角度α，建立一个以A为原点的直角坐标系，利用向量性质来做，很容易的

Answer 2

（1）三角形pgb是等腰直角三角形
证明：连接dg
因为四边形aefg是正方形
所以角gaf=角afg=45度
因为四边形abcd是正方形
所以角daf=角fbc=角dcb=90度
ad=ab
dc=bc
因为角dag+角afg=角dab=90度
所以角dag=45度
所以角dag=角afg=45度
因为ag=ag
所以三角形dag和三角形bag全等(SAS)
所以dg=bg
因为cg=cg
所以三角形dcg和三角形bcg全等(SSS)
所以角dcg=角bcg=1/2角dcb
所以角bcg=角gcp+角bcp=45度
因为角afg+角bfg=180度
所以角bfg=135度
因为角bfg+角fbc+角bcg+角fgc=360度
所以角fgc=90度
所以三角形fgc和三角形fbc是直角三角形
因为点p是cf的中点
所以pg=pc=1/2cf
pb=pc=1/2cf
所以pb=pb
角cgp=角pcg
角pcb=角pbc
因为角gpb=角gpf+角bpf
角gpf=角cgp＋角pcb＝2角pcg
角bpf=角bcp+角pbc=2角bcp
所以角bgb=角gpf+角bpf=2(角gcp+角bcp)=2角bcg=90度
所以角gpb=90度
所以三角形pgb是直角三角形
因为pg=pb（已证）
所以三角形pgb是等腰直角三角形
（2）三角形pgb是等腰直角三角形
证明：连接df，分别取dg f, bc的中点n ,m。连接gn . pn ,pm
所以gn是三角形dgf的中线
因为点P是cf的中点
所以pn是三角形dfc的中位线
所以pn=1/2dc
pn平行dc
所以角pnf=角cdf
角npf＝角dcf
pm是三角形bcf的中位线
所以pm=1/2bf
pm平行bf
所以角cbf+角pmb=180度
因为四边形abcd是正方形
所以角abc=角adc=90度,
dc=bc
角dcf＝角bcf＝45度
因为cf＝cf
所以三角形dcf和三角形bcf全等（SAS）
所以df=bf
角cdf＝角cbf
因为角adc=角adn+角cdf=90度
角abc=角abf＋角cbf＝90度
所以角adn＝角abf
因为四边形aefg是正方形
所以角dgf＝90度
所以gn是直角三角形dgf的中线
所以gn=dn=1/2df
所以角ndg=角dgn
因为角gnf＝角ndg+角dgn=2角gdn
因为角abc＝角abf＋角cbf＝90度
所以2角adn＋2角cbf＝180度
所以2角adn＋2角cdf＝角pmb＋角cbf＝180度
所以角pmb＝2角adn＋角cdf=2角adn＋角pnf
因为角pnf＋角gnf＝角gnp＝角pnf＋2角adn
所以角gnp＝角pmb
gn＝1／2df＝1／2bf＝pm（已证）
pn＝1／2dc＝bm＝1／2bc
所以gn＝pm（已证）
pn＝bm
所以三角形gnp和三角形bmp全等（SAS）
所以pg＝pb
角npg＝角mbp
因为角fpb＝角bcf＋角mbp＝45＋角mbp
角gpf＝角npf-角npg=45-角npg
所以角gpb=角gpf+角fpb=45+45=90度
所以三角形pgb是等腰直角三角形
（3）方法同上，反复用三角形的中位线及三角形的中线来证边等，角等后再证三角形全等，即可得证pg=pb，角gpjb=90度，最后证得三角形pgb是等腰直角三角形

Answer 3

去参考：http://zhidao.baidu.com/question/450159822.html
你的问题可以得到解决。

Answer 4

看不清啊！太黑！又没有字母显示。