Question

使不等式 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(2n+1) < a - 2010 1/3 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的值

使不等式 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(2n+1) < a - 2010 1/3 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的值

要过程啊！！

Answer 1

不等式左边随n增大递减，证明如下：
1/[(n+1)+1]+1/[(n+1)+2]+...+1/[2(n+1)+1]-[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n+1)]
=[1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n+1)+1/(2n+2)+1/(2n+3)]-[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n+1)]
=1/(2n+2)+1/(2n+3) -1/(n+1)
=[1/(2n+2) -2/(2n+2)] +1/(2n+3)
=1/(2n+3) -1/(2n+2)
2n+3>2n+2，1/(2n+3)<1/(2n+2)
1/(2n+3)-1/(2n+2)<0，即随n增大，算式结果单调递减。

很容易得到：当n=1时，
左=1/(1+1)+1/(1+2)=1/2+1/3=5/6
a-2010又1/3>5/6
a>2011又 1/6，最小正整数a的值为2012。

Answer 2

1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n+3)
-[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n+1)]
=1/(2n+2)+1/(2n+3)-1/(n+1)
<1/(2n+2)+1/(2n+2)-1/(n+1)=0
所以n越大，值越小，
所以n=1时，值最大为5/6
往后就好做了

Answer 3

记an=1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(2n+1)，则
an+1-an=1/(2n+2)+1/(2n+3)-1/(n+1)<0
次数列是单调递减数列
a1为其最大值
n=1时，a1=1/2+1/3=5/6
有5/6<a-2010 1/3
a>5/6+2010 1/3
所以a=2012

Answer 4

an= 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(2n+1)
可知an单调减
所以a1满足要求即可