已知a,b属于正实数,a+b=1,求证:√(a+1/2)+√(b+1/2)<=2
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设：y=√(a+1/2)+√(b+1/2)
y^2
=2+2*√(1/4+a/2+b/2+ab)
=2+2*√(3/4+ab)
ab<=
(a+b)^2/4=1/4
所以
,y^2<=2+2*√(3/4+1/4)=4
即：y<=2
得证。
整体换元，与基本不等式的应用
解答如下：
a≥0,b≥0,a+b=1
所以
(a+1/2)+(b+1/2)=2
由于基本不等式
(x+y)^2<=2(x^2+y^2)
所以
（√(a+1/2)+√(b+1/2))^2<=2『(a+1/2)+(b+1/2)』=4
即
√(a+1/2)+√(b+1/2)《2
y^2
=2+2*√(1/4+a/2+b/2+ab)
=2+2*√(3/4+ab)
ab<=
(a+b)^2/4=1/4
所以
,y^2<=2+2*√(3/4+1/4)=4
即：y<=2
得证。
整体换元，与基本不等式的应用
解答如下：
a≥0,b≥0,a+b=1
所以
(a+1/2)+(b+1/2)=2
由于基本不等式
(x+y)^2<=2(x^2+y^2)
所以
（√(a+1/2)+√(b+1/2))^2<=2『(a+1/2)+(b+1/2)』=4
即
√(a+1/2)+√(b+1/2)《2
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