Question

已知函数f(x）=x³+ax²+bx+5，曲线y=f(x)在点P(1,f（1))处的切线方程为y=3x+1

(1)求a,b的值
（2）求y=f（x)在[-3,1]上的最大值

Answer 1

已知函数f(x）=x³+ax²+bx+5，曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1；
(1)求a,b的值；(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值。
解：(1)。f(1)=a+b+6=4，故得a+b=-2............................(1)
f '(x)=3x²+2ax+b，f '(1)=3+2a+b=3，故得2a+b=0.........(2)
(2)-(1)得a=2，b=-4；
故f(x)=x³+2x²-4x+5
(2)。令f '(x)=3x²+4x-4=(3x-2)(x+2)=0，得驻点x₁=-2，x₂=2/3；x₁是极大点，x₂是极小点。
-2∈[-3，1]；故在该区间上的极大值=f(-2)=-8+8+8+5=13，又f(-3)=-27+18+12+5=8<13，
f(1)=3+4-4+5=8<13，故极大值f(-2)=13也是该区间上的最大值。

Answer 2

⑴由已知得，f(x)'=3 而它用原式求导得3x²+2ax+b 所以当x=1时，3+2a+b=3 ∴2a+b=0①
把x=1代入函数得6+a+b ∴6+a+b=4 ∴a+b=﹣2 ② 两方程联立得a=2,b=﹣4
⑵由⑴得，f(x)=x³+2x²－4x＋5 f(x)'=3x²+4x－4
画个数轴，左端为﹣2，右端为2／3 ﹙因式分解﹚ 然后穿根，从右上开始穿，经过标出来的两个点。在数轴上方的为单调递增的，同理下方的为单调递减的
﹙﹣∞，﹣2﹚，﹙2／3，﹢∞﹚为单调递增 ﹙﹣2,2／3﹚为单调递减
函数在﹣2处取得极大值 =13，在2／3处取得极小值 =95／27
在﹣3处得8，在1处得4
所以在﹣2处取得最大值为13

我写的只是为了让你看懂，过程不太标准，请见谅