Question

已知x^2/16+Y^2/4=1,求：过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点轨迹

Answer 1

(1)斜率为2的平行弦ab中点m
m(x,y)
xa+xb=2x,ya+yb=2y
k(ab)=(ya-yb)/(xa-xb)=2
[(xa)^2/16+(ya)^2/4]-[(xb)^2/16+(yb)^2/4]=0
(xa+xb)*(xa-xb)/16+(ya+yb)*(ya-yb)/4=0
(xa+xb)
/16+[(ya+yb)/4]*[(ya-yb)/(xa-xb)]=0
2x/16+(2y/4)*2=0
x+8y=0
(2)过q（8,2）的直线被椭圆截得弦cd中点n(x,y)
xc+xd=2x,yc+yd=2y
k(cd)=k(qn)
(yc-yd)/(xc-xd)=(y-2)/(x-8)
(xc+xd)
/16+[(yc+yd)/4]*[(yc-yd)/(xc-xd)]=0
2x/16+(2y/4)*[(y-2)/(x-8)]=0
(x-4)^2/20+(y-1)^2/5=1

Answer 2

已知x^2/16+Y^2/4=1,求：过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点轨迹
设点A（x1，y1）B（x2，y2）是直线与椭圆的交点，设中点M（x，y）
椭圆方程：x²+4y²=16
x1²+4y1²=16
x2²+4y2²=16
两式相减
(x1²-x2²)+4(y1²-y2²)=0
(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
这里
x1+x2=2x
y1+y2=2y
(y1-y2)/(x1-x2)=(y-2)/(x-8)
代入
2x+8y(y-2)/(x-8)=0
化简
x²-8x+4y²-8y=0
(x-4)²+4(y-1)²=20
(x-4)²/20+(y-1)²/5=1
另外我们可以设直线方程：y-2=k(x-8)代入椭圆方程，利用韦达定理
x1+x2=2x，y1+y2=2y
而斜率k=(y-2)/(x-8)
消去k，就可以了