Question

设f(x)在零到正无穷上单调增加,且f(0)=0证明F(x)=f(x)/x在0到正无穷上单调增加

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

题目错，应该设f‘(x)单调增加,且f(0)=0证明f(x)=f(x)/x在0到正无穷单调增加
证：f’（x）=（xf'（x）-f(x))/x^2,
由lagrange定理及f‘(x)的单调性知f（x）=f（x）-f(0)=xf'(t)<xf'(x),0<t<x.
f’（x）>0,得证。

Answer 3

题目错，应该设f‘(x)单调增加,且f(0)=0证明F(x)=f(x)/x在0到正无穷单调增加
证：F’（x）=（xf'（x）-f(x))/x^2,
由lagrange定理及f‘(x)的单调性知f（x）=f（x）-f(0)=xf'(t)
0,得证。

Answer 4

反证法：假设x1>x2>=0
必有f(x1)>f(x2)>=0
*1
如果F（x）不是单调递增
比存在x1
x2
使得
F(X1)<=F(X2)
*2
然后推*1
*2
的矛盾