Question

已知函数f(x)=alnx+x²（a为实常数）

（1）当x∈[1,e]时，讨论方程f(x)=0根的个数
（2）若a>0,且对任意的x1、x2属于[1,e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤100|1\x1-1\x2|，求实数a的取值范围

Answer 1

1、
显然a>0时f(x)=0在1,e]上无零点。
a<0时，-a>0，
f(x)=x²+alnx
f'(x)=2x+a/x
令f'(x)=0，得x= √(-a/2) ，
注意到f(1)=1，因此f(x)在(0，√(-a/2))上递归减，(√(-a/2)，+∞)上递增。
当a=-2e时,对x=√(-a/2)= √e，f(√e)=0，f(x)=0在[1,e]上有一个根。
当-2e<a<0时，f(√(-a/2))>0，f(x)=0在[1,e]上没有根。
注意到f(e)=e²+a，
当-e²<a<-2e时，f(e)>0，f(√(-a/2))<0，f(x)=0在[1,e]上有2个根。
当a<-e²时，f(e)<0，f(√(-a/2))<0，f(x)=0在[1,e]上有1个根。