Question

解微分方程时积分常数的最后形式到底是什么?

我在做一个很简单的可分离变量微分方程遇到了点问题: xy' - y*ln(y) = 0分离变量, 得 dy/(y*lny) - dx/x = 0 积分, 得ln(lny) - lnx = C1 => lny = x * e^(C1) , 令 C2= e^(C1) => lny = x* C2 ==> y = e^(C2*x) 做到这一步时,我就想, 能不能设 C = e^C2 , 使最终的通解成为 y = C^x ??? 但通解的答案是 y = e^(C*x), 也就是说没有进一步对积分常数C2 进行第2次变换. 所以我想问一下, 积分常数到底能变换几次？教科书上显然没有针对这点进行详细的讨论.... 谢谢各位啦!

Answer 1

xy'-y*ln(y)=0很显然y>0所以dy/(y*lny)-dx/x=0化成这个形式讨论一下：分母不能为零，所以x≠0，y*lny≠0；因为y>0，亦即x≠0，lny≠0但原方程里面没有这些限制；因此这里出现了不允许的情况应单独作为补充说明。 亦dlny/(lny)-dx/x=0亦dln|lny|-dln|x|=dln|lny/x|=0积分一次ln|lny/x|=A，这里A为任意实数变形为|lny/x|=e^{A}，即lny/x=±e^{A}=B在令上述B=±e^{A}中实际上限定了B≠0，这恰是lny≠0的体现；因此若将lny=0补充进来则lny/x=C，这里的C应该为任意实数注意在这里仍有x≠0，若再变形为lny=Cx这就把x=0也补充进来了，因为原方程只有一个限定条件y>0；所以解题过程中多余的约束应当适时解除若再变形y=e^{Cx}=e^{C}*e^{x}=D*e^{x}注意这里C取任意实数，正对应着D>0因此最后这个积分常数应当受到限制，这也恰是y>0的体现！