Question

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．

1)求b+c的值
2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式
3）在（2）的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标

Answer 1

1）设B（0,c），A（-c,0）
把A点带入y=-x^2+bx+c
可得到b+c=1
2）点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，则可得到OA平行且等于BC，则C（c,c）。
带入y=-x^2+bx+c，再联立1）中的等式，可得到y=-x^2+0.5x+0.5
3）有点麻烦的方法。先求出直线PB的解析式。一点B已知，再求出OC的中点的这个点，因为△OBC为等腰直角三角形，三线合一。中点坐标为（1/4,1/4）。则直线PB：y=-x+1/2.，联立方程y=-x^2+0.5x+0.5，即可得知P点坐标。

Answer 2

（1)由oA=OB得A（-c,0)，代人解析式得 ﹣c²+bc+c=0 得b+c=1
(2)由oA=BC得C（c,c）代人解析式得 ﹣c²﹢bc﹢c＝c 得b=c 结合（1）得b=c=½
故y=-x²﹢½x﹢½
(3)设P（x,y）因为∠OBP=45°，所以x＝½－y (造等于直角三角形）
又因为P在抛物线上 故有 y=﹣(½－y)²＋½(½﹣y﹚＋½
解得y=½ y=-1
可得x=0 x=3／2 则P（3／2，-1）为所求 [（0，½）是B]