Question

已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，

求抛物线解析式

Answer 1

由OA=4,OB=1，可以知道抛物线过点4，0和-1，0
楼主把该图像画出来小小观察一下就可以发现OC把三角形ABC分成了两个相似三角形
〔直角三角形斜边上的高将直角三角形分出来的两个三角形是相似的。〕
所以我们可以知道OA:OC=OC:OB
所以OC^2=OA*OB
所以OC=2
于是可知三角形也经过点0，-2
于是我们已知了抛物线经过3个不同的点
所以用待定系数法将3个点代入得出3条式子即可求出abc
分别代入以上3点得
a*4^2+b*4+c=0
a-b+c=0
c=-2
解得a=0.5，b=-1.5，c=-2

Answer 2

解：点A和点B坐标分别为（4，0）（-1，0）
对称轴x=(4-1)/2=3/2
设抛物线解析式y=a(x-3/2)²+h
点C坐标（0，c）
根据题意
(c-0)/(0-4)*(c-0)/(0+1)=-1
c²=4
c=-2或2（不合题意，舍去）
抛物线y=ax²+bx-2
将（-1，0）和（4，0）代入
a-b-2=0(1)
16a+4b-2=0(2)
由a=b+2代入(2)
b=-3/2
a=1/2

y=1/2x²-3/2x-2