Question

如图，三角形ABC是一个等腰直角三角形，已知CA=CB，角ACB=90度，点D是三角形ABC外

Answer 1

【在过去用四点共圆可很容易证明，现在四点共圆取消，只能用相似】
证明：
设AB与CD交于E。
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
在△CAE和△BDE中，
∵∠CAE=∠BDE=45°，∠CEA=∠BED，
∴△CAE∽△BDE（AA），
∴AE/DE=CE/BE，
又∵∠AED=∠CEB，
∴△AED∽△CEB（SAS），
∴∠ADE=∠CBE=45°，
∴∠ADB=∠ADE+∠BDC=45°+45°=90°，
∴AD⊥DB
。

Answer 2

用重合法证明。
把abc补成正方形abec.在be上向内作正三角形boe.
∠abo＝∠ceo＝30°.
∴∠bac＝∠boa＝∠eco＝（180°-30°）/2＝75°.
∠oac＝∠oca＝15°,
o点与原题中的d点重合。
ab＝bo＝bd.