高等代数证明题 设数域p上的两个多项式f(x)与g(x)有公共根,且f(x)在数域p上不可约.证明:f(x)|g(x) 10
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f和g有公根则(f,g)≠1，又f在P上不可约，所以f的因子只有1和f本身，故推知(f,g)=f,所以f(x)|g(x)
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域上的多项式是PID，所以不可约元等价于素元。
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设 f(a)=g(a)=0
则 (x-a) |f(x) (x-a) |g(x)
又f(x)在数域p上不可约.，所以 f(x)=k(x-a)
故 f(x)|g(x)
则 (x-a) |f(x) (x-a) |g(x)
又f(x)在数域p上不可约.，所以 f(x)=k(x-a)
故 f(x)|g(x)
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