Question

高中数学 圆锥曲线与方程

直线l:2x+y+2=0与椭圆C:x²+y²/4=1的交点为A,B
试探究在椭圆C上是否存在点P?使△PAB的面积为1,若存在，求点P的个数(不必求出坐标)

Answer 1

2个，可以设椭圆点为（cosa,2sina）

Answer 2

联立：

{x²+y²/4=1
{2x+y+2=0
4x²+y²-4=0
(y+2)²+y²-4=0
y(y+2)=0==>y1=0,y2=-2
两交点A,B恰好一个是左顶点（-1，0），一个是下顶点（0，-2），
|AB|=√5
设与AB平行的椭圆的切线
L:2x+y+λ=0
(y+λ)²+y²-4=0
2y²+2λy+(λ²-4)=0
令Δ=0==》λ=±2√2
下方切线方程：
2x+y+2√2=0与AB的距离为：
d(小)=(2√2﹣2)/√5
d(大)=(2√2+2)/√5
三角形的面积为1，根据这个条件，椭圆上的点到直线的距离至少为
2/√5
按此条件在直线2x+y+2=0的上方存在两个点，下方没有；
答案是：
存在！有两个点；

Answer 3

我给你一个解题思路，如果还没有弄出来就再追问我（毕竟题目要自己做出来才能印象深刻）。。。首先你画一个示意图，大概知道这个题目是什么意思。然后，求出线段AB的长度。
因为要求△PAB面积为1。。所以你看，知道了线段AB的长，也就是三角形底边长度，就能知道高h，也就是P到直线l的距离。。。
接着，再求和l斜率相等（都是-2），并且和椭圆相切的直线（有两条，设为l1和l2）的方程。
如果l1和l的距离大于h，那么就有两个P点。如果l2和l的距离大于h，那么也有两个P。
如果l1和l2到l的距离都大于h，那么就有四个P点。
如果等于h就只有一个。。。
就这样，你耐心看一下思路，我随时解答。

追问

大神！对不起！！我本来是选你为最佳答案的 TAT手贱点错了。。 我跟着你的指导看懂了 对不起~ 谢谢你！！

追答

没关系的，能帮到你就好。