Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²

（1）求x＜0时，f（x）的解析式 （2）问是否存在这样的正数a，b，当x∈【a，b】时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为【b分之一，a分之一】？若存在，求出所有的a，b的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)令x＜0
则-x≥0
∴f(-x)=2×(-x)-(-x)²=-2x-x²
∵f(x)是奇函数
∴f(x)=-f(-x)
∴f(x)=2x+x²(x＜0)
(2)①当0<a<b≤1时，1/a>1
而当x≥0时，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)=f(x)
②当0<a<1<b时，则g(x)最大值为g(1)=f(1)=1,
即1/a=1，得：a=1与0<a<1<b矛盾
③当1≤a<b时
∵x≥1，f(x)为减函数
则g(x)=f(x)=2x-x²
于是1/b=g(b)=-b²+2b，1/a=g(a)=-a²+2a
即(b-1)(b²-b-1)=0，(a-1)(a²-a-1)=0
∵1≤a<b
∴a=1，b=(1+√5)/2