已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求（x+1x）2+（y+1y）2的最小值．
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解：x＞0，y＞0，且x+y=1，∴1=x+y≥2xy，
∴0＜xy≤14，当且仅当x=y=12时取等号，
∴（x+1x）2+（y+1y）2=x2+1x2+2+y2+1y2+2
=x2+y2+1x2+1y2+4≥2（xy+1xy）+4，
令xy=t，则t∈（0，14]，
∵函数y=t+1t在t∈（0，14]上单调递减，
∴当t=14时，y=t+1t取最小值174，
∴xy+1xy≥174，∴（x+1x）2+（y+1y）2≥2（xy+1xy）+4≥252
∴（x+1x）2+（y+1y）2的最小值为252，当且仅当x=y=12时取等号
∴0＜xy≤14，当且仅当x=y=12时取等号，
∴（x+1x）2+（y+1y）2=x2+1x2+2+y2+1y2+2
=x2+y2+1x2+1y2+4≥2（xy+1xy）+4，
令xy=t，则t∈（0，14]，
∵函数y=t+1t在t∈（0，14]上单调递减，
∴当t=14时，y=t+1t取最小值174，
∴xy+1xy≥174，∴（x+1x）2+（y+1y）2≥2（xy+1xy）+4≥252
∴（x+1x）2+（y+1y）2的最小值为252，当且仅当x=y=12时取等号
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